探究二次函数图象不容忽视的几个问题

　　摘要：很多教师教学时习惯于按部就班地分析问题、解决问题，不善于站在学生角度发现问题、提出问题。文章以“二次函数的图象与性质”的教学为例，阐述探究二次函数图象不容忽视的几个问题。

　　问题是学生思维的出发点，没有问题就没有真正的思考，没有问题也就没有创造。在听课时，笔者发现部分教师总是习惯于按部就班地按照教材呈现的知识线条分析问题、解决问题，强调“应该这样”，很少从学生的角度发现问题、提出问题，思考“为什么这样”，造成学生学习中存在疑惑和困难，也无形中养成了学生懒于思考的习惯。文章以“二次函数图象与性质”的教学为例，阐述教师要“以学生为中心”钻研教材设置问题，通过问题解决、答疑解惑达到教学目的，同时培养学生的问题意识。

　　一、引例问题

　　问题是由问题情境产生的，而且总是以解决问题为目的，提倡发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。对于教师而言，就是发现学生疑惑不解的问题，充分调动学生学习的积极性，探究数学问题。例如，在教学北师大版《义务教育教科书·数学》九年级下册第二章第2节“二次函数的图象与性质”时，按照教材编排呈现的二次函数表达式都是顶点式，教师按照教材问题情境教学时，有必要提出以下问题：求二次函数图象上下左右平移后的表达式，为什么要把一般式化为顶点式？用二次函数的一般表达式能不能求平移后的表达式？在图象平移之后，为什么二次函数图象左右平移规律与点的平移规律不一致？如何求二次函数对称、旋转后的表达式？教师必须将这些问题讲透、讲彻底，才能拨开学生心中的云雾疑团，减少学生作业中的错误，灵活开拓学生思维，有效提高教学效率，培养学生的问题意识。

　　二、问题探究

　　问题1：为什么把一般式化为顶点式？

　　笔者曾经在不同的学校做过口头调查，发现很多学生对此问题不置可否。这个问题看似平常，却是学生心中最疑惑的问题。因此，教师要善于以学生为中心提出问题、解决问题，提升驾驭教材的能力，从容易被大家忽视的常见问题开始，使学生知其然，知其所以然。教学时先明确图形对称、平移和旋转变换的共同特征是位置变了，但是形状大小不变。二次函数 y =ax2 +bx +c(a，b，c为常数，a ≠0) 的图象是一条抛物线，二次项系数a 决定抛物线的开口方向，a 的绝对值决定抛物线的开口大小。当图象平移时，其形状大小不变，故平移后表达式中a 的值不变，但是位置变了，顶点坐标随之发生了变化，只要求出平移后图象的顶点坐标，很容易写出平移后图象的表达式。因此，求平移后二次函数图象的表达式时，为了简便，常把一般式化为顶点式。这个问题的设置和解决，激发了学生的学习兴趣，有助于培养学生的质疑精神。

　　问题2：能不能用一般式求平移后的表达式？

　　当笔者问及问题2时，学生的回答依然是模棱两可，从中反映出教师对此问题的忽视。其实，这个问题很容易通过举例来比较说明。例如，将y =2x2 +4x + 3=2(x +1)2 +1向左平移2个单位长度后为y =2(x +3)2 + 1，若直接用一般式y =2(x +2)2 +4(x +2) +3=2x2 +12x + 19=2(x +3)2 +1，其结果是一样的。从中看到用一般式求平移后的表达式，其规律和顶点式一样也是“左加右减，上加下减”。这一点学生虽然不难理解，但是教师不解决此问题，学生也懒于去思考，不利于对知识的深化理解。教师在设计教学时有必要换位思考，解决学生心中的疑惑。

　　问题3：为什么图象平移规律与点的平移规律不一致？

　　学生在学习画二次函数图象时，通过“列表—描点—连线”，已经深刻体会到二次函数图象都是由无数个点组成的，二次函数图象的变换，实质上就是相应图象上点的变换。因此，学生经常将点的平移规律与二次函数图象平移规律混为一谈，对图象平移规律与点的平移规律不一致感到非常费解。由此可见，探究这个问题是提高课堂教学效率的关键。

　　在平面直角坐标系中，当一个点沿x 轴向左或向右平移时，横坐标相应减少或增加，纵坐标不变；当沿x 轴向上或向下平移时，横坐标不变，纵坐标相应增加或减少，其平移规律简称为“左减右加，上加下减”。二次函数图象左右上下平移时，图象上的点仍然是这个规律不变，只是变换后在表达式中表现为“左加右减，上加下减”。通过举例，使学生一目了然。例如， y =2(x -3)2 +8，将顶点(3，8) 向左平移2个单位长度后为(1，8)，表达式为y =2(x -1)2 +8，相当于由 y = 2(x -3+2)2 +8 得到。这样不仅加深了知识之间的联系，还使学生对点和图象左右平移“现象不同，本质相同”有了一定的认识。

　　问题4：如何求对称、旋转后的表达式？

　　解决问题是一个探索的过程。对于学生来说，数学问题就是还没有掌握的数学信息，是需要学生用已知的数学理论知识去解决的。有了以上问题的学习基础，教师可以放手让学生根据点的对称规律自主探究求出二次函数图象关于x 轴对称、y 轴对称，绕顶点旋转180°这三种变换后的表达式，如果把一般式化为顶点式更好理解。这样不仅拓展了学生的思维，巩固了所学知识，体会了各知识之间的相互联系，还有利于培养学生的创新能力。

　　教师要善于从教材例题或教学情境的细微处着手，从学生的角度出发设置问题、实施教学，探究知识的来龙去脉，将知识融会贯通，让学生逐步养成带着疑问看事物的习惯，初步学会从数学的角度提出问题、发现问题，培养学生乐于质疑、勇于探究的精神，发展学生的数学学科核心素养。

　　基金项目：甘肃省教育科学“十三五”规划2018年度规划课题——数学核心素养视域下培养初中生数学运算能力的课例研究（GS［2018］GHB0293）。

　　参考文献：

　　［1］ 中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2012.