浅谈几何上的几个发展阶段在人类文明史上的贡献

　　前段时间，有学生问我，几何的发展过程中有哪些科学家作代表，哪些定理用来体现。一个阶段到另一个阶段的转变标识着什么？由此，我查了一些资料，发现，在几何的发展过程中，呈现出明显的不同阶段，这些阶段的内容又不完全相悖，相辅相成，承前启后。这就是分别以欧几里得的欧式几何、黎曼的黎氏几何、罗巴切夫斯基的罗氏几何为代表的欧式几何阶段和非欧氏几何阶段。

　　第一，欧式几何。欧式几何是以古希腊大数学家欧几里得与他的著作—《几何原本》为代表。《几何原本》是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。在《原本》一书里，欧几里德系统地总结了古代学者们在实践和思考中获得的几何知识，把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了严密的逻辑体系—几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。自《原本》出世两千多年以来，一直作为几何学习的主要教材。史上许多著名的科学家都曾学习过《几何原本》，比如哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等，都在学习这本旷世巨著中吸取了丰富的营养，并在此基础上作出了许多伟大的成就。从数学角度尤其值得一提的是英国伟大的科学家牛顿，现在被广泛用于自然科学、社会科学，甚至在社会生活的各个方面都会出现的微积分就是他从物理学的角度创建的。尽管数学史认为牛顿与德国的莱布尼茨分别独立创建了微积分，但牛顿的贡献我认为是主要的。在微积分的建立过程中，充分利用了几何上的优势对这门逻辑深奥，理论晦涩难懂的数学分支注入了灵活的成分。

　　欧式几何主要由五条几何公理组成。1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。2.线段(有限直线)可以任意地延长。3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。4.凡是直角都相等(角公理)。5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小於两个直角，则两直线作延长时在此侧会相交。前三条公理是尺规作图的公理，用以确定直线和圆。其实，从数学角度，就直线和圆的定义而言，人们使用尺子和圆规在纸面上画出的图形都不是数学上的直线和圆，但欧几里得认为，我们可以使用尺规作出近似图形，由此帮助我们想象真正的图形，配合正确的推理，在数学上就够了。公理四规范了直角，定理五又可加做平行公理，等价于：在同一平面内，过直线外一点，可以作且仅可以作一条直线与已知直线平行。欧式几何还有五个一般公理和23个定义组成。

　　古希腊人对经验几何知识的锤练，首先是泰利斯发起的，后来是毕达哥拉斯学派提出的直观性常识的几何原子论。而欧几里得吸取了毕氏学派在几何研究上失败的经验，重新对当时既有的几何知识进行了分析与整合，另辟路径，一改用几何本身来建立几何的方式，采用公理化的手法，逐本探源。欧氏几何的建立，采用了分析与综合的方法。它的各个组成部分的建立不仅仅是单独一个命题的前提与结论之间的连结，而是把所有的几何命题有机链接，有机融合，形成了知识的逻辑网络。美国女诗人米雷曾赞美欧几里得说：只有欧氏见过赤裸之美(Euclid alone has looked at beauty bare。)二、非欧几何。非欧几何的代表是黎曼和罗巴切夫斯基。他们的研究著作统称为黎氏几何和罗氏几何。非欧几何是人类认识史上又一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅为标志着数学近百年来的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。非欧几何与欧氏几何最主要的区别在于各自的公理体系中采用了不同的平行公理。罗氏几何的平行公理是：通过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行。而黎曼几何的平行公理是：同一平面上的任意两条直线一定相交。

　　非欧几何的创建打破了两千多年来欧氏几何独霸天下的局面革新和拓广了人们对几何学观念的认识，激烈和引导人们对几何基础的研究逐步地深入。非欧几何对于二十世纪初，物理学上关于空间和时间的物理观念的变革起到了重要的基础作用。可以说，宇宙空间更适于用非欧几何的结论加以解释。

　　可以说，几何的这几个发展阶段印证了人类对大自然的探索在不断地深入，不断地螺旋式地前进。欧式几何从平面上入手，总结了古代人类对周围世界的认识，使得几何学在研究方法，研究过程中都有了严格的意义，可以说使得几何学向着严格的科学定义前进。黎曼和罗巴夫斯基的非欧氏几何的出现也不是偶然的。正是人们对未知世界的探索在不断地深入，需要数学为之奠定理论的基础。人们的视野也从平面到了曲面。

　　赵金荣(第二炮兵工程大学士官学院)